反函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種函數(shù)。設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D，值域是f(D)；如果對(duì)于值域f(D)中的每一個(gè)y，在D中有且只有一個(gè)x使得g(y)=x，則按此對(duì)應(yīng)法則得到了一個(gè)定義在f(D)上的函數(shù)，并把該函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)。

1、什么是反函數(shù)？

一般來(lái)說(shuō)，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作y=f^(-1)(x) 。反函數(shù)y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。

一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f（x）相對(duì)應(yīng)，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函數(shù)(默認(rèn)為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的）。注意：上標(biāo)"−1"指的并不是冪。

2、反函數(shù)的性質(zhì)

（1）函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)f -1(x)圖象關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)；

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的 充要條件是，函數(shù)的 定義域與 值域是 一一映射；

（3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng) 區(qū)間上 單調(diào)性一致；

（4）大部分 偶函數(shù)不存在反函數(shù)（當(dāng)函數(shù)y=f(x)， 定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數(shù)），則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}, 值域?yàn)閧0} ）。 奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，被與y軸垂直的直線(xiàn)截時(shí)能過(guò)2個(gè)及以上點(diǎn)即沒(méi)有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

（5）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；

（6）嚴(yán)增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)；

（7）反函數(shù)是相互的且具有唯一性；

（8）定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆（三反）；

（9）反函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果x=f(y)在開(kāi)區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)，可導(dǎo)，且f'(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f -1(x)在區(qū)間S={x|x=f(y),y∈I }內(nèi)也可導(dǎo)；

（10）y=x的反函數(shù)是它本身。